\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Devoir maison n°11}
\lfoot{}
\cfoot{Suites, \'Etude de fonctions}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 20 Février 2019}
\end{center}
\renewcommand{\P}{\mathscr{P}}

\section*{Exercice 1 - \'Etude de fonction et suites} %EMLyon 2011


On considère la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par :
\begin{center}
$u_0 = a$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1} = u_n(2-u_n)$, 
\end{center}
où $a$ est un réel tel que $0 < a <1$. 
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ (polynôme) et
$$
\forall x \in \R,\quad f'(x) = 2 - 2x
$$
On a $2 - 2x > 0 \Longleftrightarrow 1 > x$. Sachant que $\li_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$ et $\li_{\to + \infty} f(x) = - \infty$. D'où le tableau de variation suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/1, Variations de $f$/2}{$- \infty$,1,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,}
\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/1, -/$-\infty$}
\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item \begin{enumerate}
\item On montre les propriétés suivantes $\P_n : \left\{  0 < u_n < 1 \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 = a \in ]0,1[$ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc 
\begin{align*}
& 0 < u_n < 1 \\
\Longrightarrow \; & f(0) < f(u_n) <f(1) \quad \text{(La fonction $f$ est croissante sur $[0,1]$.)}\\
\Longrightarrow \; & 0 < u_{n+1} < 1
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $ 0 < u_n < 1$. }\\
	\end{itemize}	
\item On sait que pour tout entier $n$, $u_n >0$,
$$
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 2 - u_n > 1 
$$ 
car $u_n < 1$. \begin{center}
\fbox{La suite $u_n$ est donc croissante .}
\end{center}
\item La suite est croissante et majorée par $1$. \fbox{Elle est donc convergente} et tend vers une limite $\ell \in \R$. On a nécessairement
$$
f(\ell) = \ell \Longleftrightarrow 2 \ell - \ell^2 = \ell \Longleftrightarrow \ell^2 - \ell = 0
$$ 
Les solutions possibles sont $0$ et $1$. Or, la suite $(u_n)$ est croissante donc 
\begin{center}
 \fbox{$\li_{n \to +\infty} u_n = 1$.}
 \end{center} 
\end{enumerate}
\item On considère la suite numérique $(v_n)_{n \in \N}$ définie sur $\N$ par :
\[ v_n = 1 - u_n \]
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n$, 
\begin{align*}
v_{n+1} &  = 1 - u_{n+1} \\
& = 1 - (2 u_n - u_n^2) \\
& = 1 - 2u_n + u_n^2 \\
& = (1-u_n)^2 
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{Ainsi $\forall n \in \N, \quad v_{n+1} = v_n^2$.}
\end{center}
\item On montre les propriétés suivantes $\P_n : \left\{  v_n = (1-a)^{2^n} \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $v_0 = 1- a $ et $(1-a)^{2^0} = 1-a$ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc 
\begin{align*}
v_{n+1} & = v_n^2 \\
& = \left( (1-a)^{2^n} \right)^2 \\
& = (1-a)^{2^{n+1}}
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $v_n = (1-a)^{2^n}$. }\\
	\end{itemize}	 
\item On a $1-a \in ]0,1[$. $\li_{n \to + \infty} 2^n = +\infty$ et $\li_{X \to + \infty} (1-a)^X = 0$. Donc 
\begin{center}
\fbox{$
\li_{n \to +\infty} v_n = 0.
$}
\end{center}
Et comme $u_n = 1 - v_n$, on retrouve
\begin{center}
\fbox{$
\li_{n \to +\infty} u_n = 1.
$}
\end{center}
\end{enumerate}
\item On considère le temps de vie d'une machine à café. En sortant de l'usine (au temps $t=0$), la machine à café à une probabilité $a$ d'être cassé ($0 < a < 1$). On notera $A_n$ l'événement "la machine est cassé au temps $t=n$" et $p_n = p(A_n)$. Si la machine est cassé au temps $t= n$ elle reste cassé au temps $t = n+1$. Si la machine est en état de marche au temps $t=n$, elle a la probabilité $p_n$ d'être cassé au temps $t = n+1$. 
\begin{enumerate}
\item Les évènements $A_0$ et $\overline{A_0}$ forment un système complet d'évènements. Donc, d'après la formule des probabilités totales.
\begin{align*}
p_1 = p(A_1) & = p(A_0) p_{A_0}(A_1) + P(\overline{A_0}) P_{\overline{A_0}} (A_1) \\
& = a \times 1 + (1-a) p_0 \\
& = a + (1-a) a \\
& = 2a - a^2 
\end{align*}
\begin{center}
 \fbox{On conclut que $p_1 = a(2-a)$.}
 \end{center} 
\item  Les évènements $A_0$ et $\overline{A_0}$ forment un système complet d'évènements. Donc, d'après la formule des probabilités totales.
 \begin{align*}
p_{n+1} = p(A_{n+1}) & = p(A_n) p_{A_n}(A_{n+1}) + P(\overline{A_n}) P_{\overline{A_n}} (A_{n+1}) \\
& = p_n \times 1 + (1-p_n) p_n \\
& = p_n ( 2 - p_n)
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{Pour tout $n \in \N$, $p_{n+1} = p_n (2-p_n)$.}
\end{center}
\item La suite $(p_n)$ est la même que la suite $u_n$ de la première partie. On a donc 
\begin{center}
\fbox{$
\li_{n \to +\infty} p_n = 1.
$}
\end{center}
Cela signifie que sur le long terme, la machine à café finira par être cassé (ce qui est logique finalement).
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - \'Etude de fonction et suites}


On consid\`{e}re l'application définie sur $]0; +\infty[$, $
f:x\longmapsto f\left(
x\right) =\left( x+\ln x\right) e^{x-1}. $

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $\R_+^*$ et pour tout $x\in \left] 0;+\infty \right[ ,$ 
\begin{center}
\fbox{$
f'(x)  = \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) e^{x-1} + \left( x+\ln x\right) e^{x-1} = \left( 1 + \dfrac{1}{x} + x + \ln x \right) e^{x-1}
$
}
\end{center}
\item On pose $g$ la fonction définie sur $] 0,+\infty [$ par $g(x) = \ln x+\frac{1}{x} $. La fonction $g$ est dérivable sur $] 0,+\infty [$ (somme de fonctions dérivables sur $\R_+^*$) et 
$$
\forall x \in \R_+^*, \quad g'(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x-1}{x^2}
$$
On trace le tableau de variation de la fonction $g$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,Signe de $g'(x)$/1, Variations de $g$/2}{$0$,1,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
\tkzTabVar{+/,-/1, +/}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center} 
La fonction $g$ admet un minimum global en $x=1$ et $g(1) = \ln(1) + 1 = 1$. Donc 
\begin{center}
\fbox{$
\forall x \in \R_+^*, \quad \ln x + \dfrac{1}{x} > 0 .
$}
\end{center}
\item D'après la question précédente $\ln x + \dfrac{1}{x} > 0$ et pour tout $x>0$, $x+1 > 0$. Par conséquent  
\begin{center}
\fbox{$
\forall x\in \left] 0;+\infty \right[ ,\quad x+\ln x+1+\frac{1}{x}>0. 
$}
\end{center}
On a $f'(x) = \left( 1 + \dfrac{1}{x} + x + \ln x \right) e^{x-1}$. Or pour tout $x>0$ $e^{x-1} > 0$ et $1 + \dfrac{1}{x} + x + \ln x >0$. 
\begin{center}
\fbox{La fonction $f$ est donc strictement croissante. }
\end{center}

\item On a $\li_{x \to 0} x + \ln x = - \infty$ et $\li_{x \to 0} e^{x-1} = e^{-1}$.  Ainsi, $\li_{x \to 0} f(x) = - \infty$. De plus $\li_{x \to +\infty} f(x) = + \infty$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/1, Variations de $f$/2}{$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,}
\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/$+ \infty$}
\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{1}{1}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
\fbox{On a $f(1) = (1 +\ln(1))e^{1-1} = 1$ et $f'(1) = (1+1+1+\ln(1))e^{1-1} = 3$. }
\end{center}

\item \fbox{La courbe $C$ admet une asymptote verticale en $x=0$. }

\item La tangente au point d'abscisse 1 est la droite d'équation $y = 3(x - 1) + 1 = 3x -2$. 
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{DM11-C1.png}
\end{center}

On consid\`{e}re la suite r\'{e}elle $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$
d\'{e}finie par $u_{0}=2$ et, $\forall n\in \mathbb{N},$ $u_{n+1}=f\left(
u_{n}\right) .$

\item On montre par récurrence les propriétés suivantes $\P_n : \left\{  u_n \geq 2 \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 = 2 $ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc 
\begin{align*}
u_n & \geq 2 \\
\Longrightarrow \quad f(u_n) & \geq f(2) \quad \text{(La fonction $f$ est croissante)} \\
\Longrightarrow \quad u_{n+1} & \geq (2 + \ln(2)) e \geq 2
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n \geq 2$. }
	\end{itemize}

\item On montre par récurrence les propriétés suivantes $\P_n : \left\{  u_n \geq e^n \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 = 2 $ et $e^0 = 1$ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc 
\begin{align*}
u_{n+1} = (u_n + \ln(u_n)) e^{u_n - 1}
\end{align*}
Or $u_n \geq 2$ donc $e^{u_n - 1} \geq e$ et $\ln(u_n) > 0$. On a donc
\begin{align*}
u_{n+1} \geq u_n e^{u_n -1} \\
\Longrightarrow \quad  & u_{n+1} \geq e^n e \\
\Longrightarrow \quad  & u_{n+1} \geq e^{n+1}
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n \geq e^n$. }
\end{itemize}
On a $\li_{n \to + \infty} e^n = + \infty$. Par comparaison, 
\begin{center}
\fbox{$
\li_{n \to + \infty} u_n = + \infty .
$}
\end{center}


\item \'{E}crire un programme en Scilab qui calcule et affiche le plus
petit entier naturel $n$ tel que $u_{n}\geq10^{20}.$

\begin{verbatim}
n = 0
u = 2
while u < 10^(20) do
    u = (u + log(u))*exp(u-1)
    n = n+1
end
disp(n) 
\end{verbatim}
\end{enumerate}


\section*{Exercice 3 - \'Etude de fonctions et suites}

On considère la fonction $f : x \to e^{-\frac{x^2}{2}}$. On définit la suite $(u_n)$ par
$$
u_0 \in [0,1], \qquad \forall n \in \N, u_{n+1} = f(u_n)
$$
\begin{enumerate}
\item On pose $g$ la fonction définie sur $[0,1]$ par $g(x) = f(x) - x$. La fonction $g$ est dérivable sur $[0,1]$ et $g'(x) = -x e^{-x^2 /2} -1$. Sur $[0,1]$ on a $g'(x) < 0$ donc
\begin{itemize}
\item $g$ est continue sur $[0,1]$.
\item $g$ est strictement décroissante sur $[0,1]$. 
\item $g([0,1]) = [e^{-1/2} - 1 , 1]$
\end{itemize} 
Or $0 \in [e^{-1/2} - 1 , 1]$ donc, d'après le théorème de la bijection,
L'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur $[0,1]$.
\begin{center}
\fbox{Il existe donc un unique $ \alpha \in [0,1]$ tel que $f(x) = x$.}
\end{center}  
\item \begin{enumerate}
\item Soit $x \in [0,1]$, c'est à dire 
\begin{align*}
& 0 \leq x \leq 1 \\
\Longrightarrow \quad & 0 \leq \dfrac{x^2}{2} \leq \dfrac{1}{2} \\
\Longrightarrow \quad & 0 \geq -\dfrac{x^2}{2} \geq -\dfrac{1}{2} \\
\Longrightarrow \quad & 1 \geq e^{-\frac{x^2}{2}} \geq e^{-\frac{1}{2}} > 0 
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{La fonction $f$ est stable par $[0,1]$. }
\end{center}
\item On montre par récurrence les propriétés suivantes $\P_n : \left\{  u_n \in [0,1] \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 \in [0,1] $ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc $u_n \in [0,1]$ et 
\begin{align*}
u_{n+1} = f(u_n) \in [0,1]
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n \in [0,1]$. }
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item $f$ est dérivable sur $[0,1]$ et
$$
\forall x \in [0,1], \quad f'(x) = -x e^{-x^2/2} \leq 0
$$
Comme $x \in [0,1]$, on a 
\begin{align*}
x \leq 1 \Longleftrightarrow e^{-x^2/2} \geq e^{-1/2} 
\end{align*}
De plus $-x \geq -1$ donc 
$$
0 \geq -x e^{-x^2/2} \geq - \dfrac{1}{e^{1/2}} \Longleftrightarrow 0 \geq f'(x) \geq - \dfrac{1}{\sqrt{e}}
$$
On en déduit
\begin{center}
\fbox{ $\forall x \in [0,1], \quad |f'(x)| \leq \dfrac{1}{\sqrt{e}}$.}
\end{center}
\item On sait que 
\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $[0,1]$
\item On a la relation  $\forall x \in [0,1], \quad |f'(x)| \leq \dfrac{1}{\sqrt{e}}$
\item $\forall n \in \N$, $u_n \in [0,1]$ et $\alpha \in [0,1]$. 
\end{itemize}
Donc d'après l'inégalité des accroissements finis
$$
|f(u_n) - f(\alpha) | \leq  \dfrac{1}{\sqrt{e}} |u_n - \alpha|.
$$
Comme $u_{n+1} = f(u_n)$ et $f(\alpha) = \alpha$, on a 
\begin{center}
\fbox{ $\forall n \in \N$, $|u_{n+1} - \alpha| \leq \dfrac{1}{\sqrt{e}} |u_n - \alpha |$.}
\end{center} 
\item On montre par récurrence les propriétés suivantes $\P_n : \left\{ |u_n - \alpha| \leq \left( \dfrac{1}{\sqrt{e}} \right)^n \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :}  $\P_0$ s'écrit $|u_0 - \alpha| \leq 1$, or $u_0 \in [0,1]$ et $\alpha \in [0,1]$ donc la distance entre ces deux nombres est inférieure à 1 et donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc $|u_n - \alpha| \leq \left( \dfrac{1}{\sqrt{e}} \right)^n$. Et d'après la question précédente :
\begin{align*}
|u_{n+1} - \alpha| & \leq \dfrac{1}{\sqrt{e}} |u_n - \alpha |  \\
& \leq  \dfrac{1}{\sqrt{e}} \times  \left( \dfrac{1}{\sqrt{e}} \right)^n
& \leq  \left( \dfrac{1}{\sqrt{e}} \right)^{n+1}
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $|u_n - \alpha| \leq \left( \dfrac{1}{\sqrt{e}} \right)^n$. }
\end{itemize} 
\item Comme $\dfrac{1}{\sqrt e} \in ]-1;1[$, on a 
$$
\li_{n \to +\infty} \left( \dfrac{1}{\sqrt{e}} \right)^n = 0
$$
Par le théorème des gendarmes, \begin{center}
\fbox{$(u_n)$ est convergente et 
$\li_{n \to + \infty} u_n = \alpha$. }
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document} 